Каталог Птолемея датирует математика (II)

 

                                                                                                       I     II

                                                                                              «Поединок» с ошибками

Множественность причин, приводящих к искажению истинной картины, и их предположительный характер (достоверных сведений о вкладе каждой из них нет) не дают возможности исследовать ошибки по отдельности. Но оказывается, этого и не нужно. Просто можно попытаться оценить кумулятивный эффект сразу от всех причин. Понятно, что предварительно надо «очистить» каталог от звезд, координаты которых заведомо сильно искажены (имеют погрешность, превышающую, скажем, 1°). Неточности такого рода появляются при переписке, вследствие рефракции (которая особенно «опасна» для «южных» звезд) и т. д.

Чтобы продвинуться дальше, требуются уже более тонкие методы. Прежде всего нужно выявить систематическую ошибку в координатах звезд, возникающую при определении положения эклиптики в момент наблюдения (рис. 3). Если составитель каталога неправильно нашел ее положение (неважно, по каким причинам), то координаты всех звезд (или их какой-то группы) изменятся неким вполне определенным образом. Поправки можно было бы легко рассчитать, если знать истинное и ошибочное положения эклиптики.

Систематическая ошибка, вообще говоря, может быть для каждой группы звезд своя, поскольку автор каталога мог вести наблюдения и в разное время, и разными приборами, и в разных точках на поверхности Земли. Кроме того, величина данных погрешностей зависит от предполагаемого года составления каталога, поскольку истинное положение эклиптики с течением времени меняется. Мы характеризовали систематическую ошибку углом между плоскостями эклиптики каталога и истинной эклиптики, чье положение рассчитывалось на каждый данный момент.

Если зафиксировать группу звезд и предположить, что каталог был составлен в некотором году, то угол достаточно просто определяется с помощью методов математической статистики. Правда, находится не точная его величина, а так называемый «доверительный интервал», в котором значение истинного угла лежит с высокой вероятностью (в нашей работе — 99,5%). В качестве отдельных групп мы рассматривали и весь «очищенный» каталог, и различные его большие части, например «северные» звезды, зодиак (звезды, лежащие в окрестности эклиптики), отдельные знаки зодиака, окружения именных звезд (Арктура, Спики, Сириуса и др.).

Обнаружился достаточно неожиданный и априори неочевидный факт: почти все рассматриваемые группы имеют одну и ту же систематическую ошибку. Из рис. 4 видно, как меняется найденный угол во времени. Эта кривая условна в том смысле, что показывает, какова была бы систематическая ошибка, если бы каталог был составлен в том или ином году.

 

  Рис. 3   В момент наблюдений               Коль скоро систематическая ошибка найдена, ее можно скомпенсировать, а координаты звезд из        

положение эклиптики может быть             «Альмагеста» пересчитать. Но останутся случайные искажения, и уточненные эклиптические широта и

определено неправильно. Тогда в

широтах всех звёзд появится

систематическая ошибка, величина

которой зависит от местоположения

звезды.

                                                               долгота будут на некоторую величину, которую называют невязкой, отличаться от истинных.

  В наших исследованиях мы рассматривали лишь широтные невязки, отбросив долготные. Почему?

  Во-первых, широта измерялась прежде точнее долготы, для определения которой нужны часы, причем такие, что появились лишь в XIII в. Ведь требовалось отсчитывать интервалы времени длительностью в десятки секунд с тем, чтобы получить долготу с точностью до 10' (цена деления в «Альмагесте»). Во-вторых, для широтных невязок резко упрощаются расчеты. В-третьих, статистический анализ каталога «Альмагеста» привел некоторых ученых, например Р. Ньютона, к выводу о подложности долготных координат.

Чего же мы добились, устранив систематическую ошибку? Сразу скажем, что результат неодинаков для разных областей на небосводе, а их на звездном небе «Альмагеста» обнаружено семь (рис. 5). Эти области различаются по точности, с которой измерены широты, причем положение звезд, входящих в каждую их них, «в среднем» определено примерно с одинаковой ошибкой.       

Рис. 4 Зависимость угла между плоскостями

эклиптики в «Амальгесте» и истинной

эклиптики от априорно выбранного для

датировки каталога года. Полоса показывает

доверительный интервал.

 

 

Область А — самая большая, и она явно очерчена именными звездами «Альмагеста», которых всего было 12. По-видимому, автор каталога придавал этой области особое значение. Надо полагать, что идущие по ее контуру именные звезды были опорными, и от них шло движение внутрь области, т. е. координаты остальных светил отсчитывались от положения именных звезд. Ошибки накапливались при переходе от одной звезды к другой. И на самом деле звезды области А, находящиеся вне зодиака, «в среднем» измерены хуже, чем лежащие внутри него (среди которых мы обнаруживаем шесть именных, если сюда включить располагающийся на границе Процион).

Чтобы области легче было сравнивать, их имеет смысл объединить в пары: А и В, зодиак А и зодиак В, С и О. Оказалось, что у каждой пары в области, расположенной справа, измерения выполнены точнее, чем в той, что лежит слева, и можно говорить о «хорошей» в данной паре области и «плохой». Млечный Путь же может рассматриваться как «средняя» область, но более близкая к «плохой».

Мы видим, что он делит звездное небо на две неравные части: одну «хорошую», другую «плохую»,

причем  первая существенно больше второй.

Рис.5 Звёздное небо «Амальгеста»             По-видимому, можно предложить разные варианты объяснения этого факта. И хотя наши выводы 

допускает разбиение на семь фрагментов.   совершенно не зависят от того, каким оно будет, мы все-таки предлагаем свою гипотезу. Вероятно, звезды

Области А и В относятся к северной            справа от Млечного Пути измерены точнее потому, что наблюдались весной и летом, когда условия

части неба, а С и D уже к южной,                благоприятствуют этому, в то время как области слева исследовались осенью и зимой. Почему можно так

расположенной за зодиаком.                      думать? Дело в том, что «хорошая» область лучше «видна» как раз весной и летом, а ее антипод —

Области же  зодиак А и В – это части          наоборот, зимой и осенью.

зодиака, попавшие соответственно в

области А и В. Отмечены именные

звёзды каталога.

                                                                                                          Датировка

Область А оказалась не только самой большой, но и «лучшей» из всех остальных. Для большей части ее звезд после компенсации систематической ошибки широкая невязка стала меньше 10', в то время как до компенсации подобную точность имели лишь 30% звезд. Стало понятным, почему выбрана в каталоге цена деления 10': наблюдая основную массу объектов с такой погрешностью, автор вправе был взять эту величину в качестве отправной в масштабной шкале.                     

Конечно, было немало звезд, у которых ошибка в определении широт оставалась еще слишком большой (20' и более). Но и когда группы таких объектов были исключены из дальнейшего анализа, все равно по оставшейся совокупности звезд провести датировку не удавалось: нужна была информация о том, какие звезды измерены составителем каталога наиболее тщательно.

Естественно было предположить, что в их число входят 12 именных звезд «Альмагеста». Это яркие объекты, образующие на небе хорошо заметный базис. Да и то, что им в каталоге даны собственные имена, тоже говорит о том внимании, которое уделялось данным звездам. Однако и к ним нельзя относиться одинаково. Например, Канопус — слишком «южная» звезда, подверженная сильным рефракционным искажениям, и ее широта в «Альмагесте» приведена с ошибкой более 1°. У Превиндемиатрикса вообще во всех известных списках и ранних изданиях «Альмагеста» координаты имеют погрешность несколько градусов. Аквила и Сириус тоже выпадают из рассмотрения, поскольку принадлежат тем областям неба, где широтные ошибки даже после компенсации систематической составляющей слишком велики (примерно 20').

Остается восемь звезд: Арктур, Спика, Капелла, Вега, Антарес, Аселли, Процион (хотя формально он и лежит за внешней границей зодиака А, в южной области С), Регул. Оказалось, что после компенсации систематической ошибки широтная невязка для всех них одновременно становится меньше 10' (т. е. меньше заявленной автором точности каталога) между 600 и 1300 г. н. э. Так был выбран интервал возможных датировок для звездного каталога «Альмагеста». Еще раз обратим внимание на то, что результат входит в противоречие с традицией, но мы ставили перед собой лишь узкую задачу — продемонстрировать возможности формальных математических методов в другой области знаний.

Теперь, когда интервал возможных датировок известен, можно найти конкретную величину систематической погрешности в каталоге «Альмагеста». Выясняется, что наклон плоскости эклиптики относительно истинной эклиптики определен в нем неточно с ошибкой около20'.

Поскольку все рассуждения при поиске систематических ошибок основывались на статистике, есть очень малая вероятность того, что полученные выводы могут оказаться недостоверными. Закономерен вопрос, существуют ли другие способы, позволяющие совместить истинные (рассчитанные) координаты именных звезд с теми, что дает «Альмагест», с такой же 10-минутной широтной навязкой. Надо

сказать, что среди именных звезд есть быстро перемещающиеся, и потому вся их конфигурация довольно подвижна. Если окажется, что для какого-то года задача решается, то он должен рассматриваться как возможная дата составления каталога. Ясно, что новый способ может только расширить найденный старым интервал поскольку тогда уже было проведено такое совмещение. Но если в результате статистического анализа систематические ошибки были вычислены верно, то время возможной датировки не должно стать менее определенным. И действительно, расчеты показали, что ни ранее 600 г. н. э., ни позднее 1300 г. никак не удается добиться столь малых широтных невязок (рис. 6)                                         

 

Больше того, до 200 г. н. э. максимальная широтная невязка для хорошо измеренных звезд вообще не может быть меньше 35', что делает гипотезу о составлении каталога во II в. в рамках нашей модели невероятной.

В наших рассуждениях как бы принималось, что погрешность при измерении звезд может разве что сдвигать их по небесной сфере, которая при этом не деформируется. Однако могут же быть такого рода искажения (например, вследствие неточного изготовления кругов в астрономических инструментах). А вдруг такая деформация расширит интервал возможных датировок настолько, что он захватит, скажем, II в. н. э? И чтобы рассеять сомнения, мы проверили предположение на основе геометрических построений. Что же выяснилось? Захватить эпоху Птолемея (не говоря уже об эпохе Гиппарха) удается только в том случае, если допустить, что небесная сфера была превращена в такой эллипсоид, у которого главные оси отличаются друг от друга на 8%. Подобный брак не допускался даже при изготовлении тележных колес!

 

                                                                Для большей уверенности метод датировки был проверен на нескольких позднейших каталогах

Рис. 6  Зависимость максимальной            (Улугбека, Тихо Браге и др.), о времени подготовки которых есть достоверные сведения, а также на ряде 

широтной невязки для всей конфигурации    искусственно созданных (с помощью ЭВМ). В последнем случае «дата составления» была, разумеется,

ярких именных звёзд «Амальгеста» от          известна составителю, но не исследователю. Испытания метода прошли успешно: полученные с его

возможной даты составления                      помощью временные привязки мало чем отличались от достоверно известных.

каталога. Невязка вычисляется при самом

лучшем совмещении истинной (рассчитанной)

конфигурации с той, что даёт каталог.

 

 

По материалам статьи авторов

В.В.Калашникова, Г.В.Носовского,

А.Т.Фоменко